यदि cos^{-1} x + cos^{-1} y + cos^{-1} z = pi | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\cos^{-1} x + \cos^{-1} y + \cos^{-1} z = \pi$.$\Rightarrow \cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \pi - \cos^{-1} z$.सर्वसमिका $\pi - \cos^{

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$x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1$

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(D) दिया गया है कि $\cos^{-1} x + \cos^{-1} y + \cos^{-1} z = \pi$.$\Rightarrow \cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \pi - \cos^{-1} z$.सर्वसमिका $\pi - \cos^{-1} z = \cos^{-1}(-z)$ का उपयोग करने पर:$\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \cos^{-1}(-z)$.सूत्र $\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \cos^{-1}(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2})$ का उपयोग करने पर:$\cos^{-1}(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}) = \cos^{-1}(-z)$.दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर:$xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = -z$.पदों को व्यवस्थित करने पर:$xy + z = \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$(xy + z)^2 = (1-x^2)(1-y^2)$.$x^2y^2 + z^2 + 2xyz = 1 - x^2 - y^2 + x^2y^2$.$x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1$.वैकल्पिक रूप से,मान लीजिए $x = y = z = \frac{1}{2}$. तब $\cos^{-1}(\frac{1}{2}) + \cos^{-1}(\frac{1}{2}) + \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$. इन मानों को विकल्प $(d)$ में रखने पर: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$. अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

यदि $\cos^{-1} x + \cos^{-1} y + \cos^{-1} z = \pi$ है,तो

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यदि $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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