જો $n \in N$ હોય,તો વિધાન $8n + 16 \leq 2^n$ એ કયા $n$ માટે સત્ય છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે નીચેની અસમતા સાચી છે:
$(2n + 7) < (n + 3)^{2}$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$x^{n}-y^{n}$ એ $x-y$ વડે વિભાજ્ય છે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ $x \neq y$ હોય તેવા કોઈપણ પૂર્ણાંકો છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $2^{3n} - 1$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$7^{n}-2^{n}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.