यदि $x_n = \cos \left(\frac{\pi}{4^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4^n}\right)$ है,तो $x_1 x_2 x_3 \ldots \infty$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $z$ और $w$ दो भिन्न शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ हैं। यदि $|z|^2 w - |w|^2 z = z - w$ है,तो:

यदि $\sqrt{5}-i \sqrt{15}=r(\cos \theta+i \sin \theta)$ जहाँ $-\pi < \theta < \pi$ है,तो $r^2(\sec \theta+3 \operatorname{cosec}^2 \theta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left(\frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta}\right)^8+\left(\frac{1+\cos \theta-i \sin \theta}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\right)^{16}=$

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए,
$(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)$
कथन $II$: यदि $x, y, z$ तीन भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $a, b, c$ तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,जैसे कि $\frac{a}{|y-z|}=\frac{b}{|z-x|}=\frac{c}{|x-y|}$,तो
$\frac{a^2}{y-z}+\frac{b^2}{z-x}+\frac{c^2}{x-y}=1$
उपरोक्त दो कथनों के बीच,

मान लीजिए $z \in \mathbb{C}$ और $i=\sqrt{-1}$ है। यदि $a, b, c \in (0,1)$ इस प्रकार हैं कि $a^2+b^2+c^2=1$ और $b+ic=(1+a)z$,तो $\frac{1+iz}{1-iz}=$