यदि x_n = cos left(frac{pi}{4^n}right) + i si | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $x_n = \cos \left(\frac{\pi}{4^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4^n}\right) = e^{i \frac{\pi}{4^n}}$.गुणनफल $P = x_1 x_2 x_3 \ldots

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $x_n = \cos \left(\frac{\pi}{4^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4^n}\right) = e^{i \frac{\pi}{4^n}}$.गुणनफल $P = x_1 x_2 x_3 \ldots \infty$ इस प्रकार है:$P = e^{i \frac{\pi}{4^1}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4^2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4^3}} \ldots = e^{i \pi \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \ldots \right)}$.घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}$ होता है।अतः,$P = e^{i \pi \left(\frac{1}{3}\right)} = e^{i \frac{\pi}{3}}$.$P = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$.

यदि $x_n = \cos \left(\frac{\pi}{4^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4^n}\right)$ है,तो $x_1 x_2 x_3 \ldots \infty$ का मान ज्ञात कीजिए।

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