मान लीजिए bar{z} एक सम्मिश्र संख्या z का सम्म | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta)$,तो $\bar{z} = r(\cos 	heta - i \sin 	heta)$.तब $(\bar{z})^2 + \frac{1}{z^2} = r^2(\cos 2	heta -

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$\left(\frac{43+3 \sqrt{205}}{2}\right)^{\frac{1}{4}}$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta)$,तो $\bar{z} = r(\cos 	heta - i \sin 	heta)$.तब $(\bar{z})^2 + \frac{1}{z^2} = r^2(\cos 2	heta - i \sin 2	heta) + \frac{1}{r^2}(\cos 2	heta - i \sin 2	heta) = (r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2	heta - i (r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2	heta$.मान लीजिए $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2	heta = m$ और $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2	heta = -n$,जहाँ $m, n \in \mathbb{Z}$.वर्ग करके जोड़ने पर,हमें $(r^2 + \frac{1}{r^2})^2 = m^2 + n^2$ प्राप्त होता है।विस्तार करने पर,$r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = m^2 + n^2$.विकल्प $(A)$ के लिए,$|z|^4 = \frac{43+3 \sqrt{205}}{2}$.अतः $r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = 43 + 2 = 45$,जो $m^2 + n^2 = 45$ है। यह पूर्णांक $m, n$ के लिए संभव है (जैसे,$6^2 + 3^2 = 45$).अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

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