यदि $\sin x + \sin y = \alpha$ और $\cos x + \cos y = \beta$ है,तो $\operatorname{cosec}(x + y) = $

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$S_n: (0, \infty) \rightarrow R$ को $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \cot^{-1}\left(\frac{1+k(k+1)x^2}{x}\right)$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ किसी भी $x \in R$ के लिए,$\cot^{-1} x \in (0, \pi)$ और $\tan^{-1} x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$,सभी $x > 0$ के लिए
$(B)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \cot(S_n(x)) = x$,सभी $x > 0$ के लिए
$(C)$ समीकरण $S_3(x) = \frac{\pi}{4}$ का $(0, \infty)$ में एक मूल है
$(D)$ $\tan(S_n(x)) \leq \frac{1}{2}$,सभी $n \geq 1$ और $x > 0$ के लिए

यदि $3 \sin \theta + 4 \cos \theta = 3$ और $\theta \neq (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ है,तो $\sin 2 \theta = $

यदि $\sin \alpha - \cos \alpha = m$ और $\sin 2 \alpha = n - m^2$,जहाँ $-\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sin ^4 \frac{\pi}{8}+\sin ^4 \frac{2 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{3 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{4 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{5 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{6 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{7 \pi}{8} = ?$

यदि $\tan A + \cot A = 2$ है,तो $\tan^{4} A + \cot^{4} A$ का मान क्या होगा?