જો $\theta$ એ બિંદુ $(-1, -1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો હોય અને $\cos \theta = -\frac{7}{25}$ હોય,તો વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

રેખા $l : x + y = 4$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2$ ને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. જો $C$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય, તો $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય...

એક વર્તુળ $C$ એ $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે અને $Y$-અક્ષ પર $2$ એકમ લંબાઈનો અંતઃખંડ બનાવે છે. જો આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $y=x+1$ રેખા પર આવેલું હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વર્તુળ $C$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે?

$1$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો એકબીજાથી $6$ એકમ અંતરે છે. ધારો કે $P$ એ $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રોને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે અને $C$ એવું વર્તુળ છે જે $C_1$ અને $C_2$ ને બહારથી સ્પર્શે છે. જો $P$ માંથી પસાર થતો $C_1$ અને $C$ નો સામાન્ય સ્પર્શક એ $C_2$ અને $C$ નો પણ સામાન્ય સ્પર્શક હોય,તો વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા શોધો.

ધારો કે એક વર્તુળ $(2,2)$ અને $(9,9)$ માંથી પસાર થાય છે અને $X$-અક્ષને $P$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. જો $O$ ઉગમબિંદુ હોય,તો $OP$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે વર્તુળો $C_1: (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r_1^2$ અને $C_2: (x-8)^2 + (y-\frac{15}{2})^2 = r_2^2$ એકબીજાને બિંદુ $(6,6)$ પર બહારથી સ્પર્શે છે. જો બિંદુ $(6,6)$ એ વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રોને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે,તો $(\alpha+\beta) + 4(r_1^2 + r_2^2)$ ની કિંમત શોધો.