यदि y=x+sqrt{2} अतिपरवलय frac{x^2}{a^2}-frac{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2} = 1$ है। मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$b^2 = 2$ प्राप्त हो

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$x= \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2} = 1$ है। मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$b^2 = 2$ प्राप्त होता है। रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है। दी गई स्पर्श रेखा $y = x + \sqrt{2}$ के लिए,$m = 1$ और $c = \sqrt{2}$ है। इन मानों को शर्त में रखने पर: $(\sqrt{2})^2 = a^2(1)^2 - 2$ $\Rightarrow 2 = a^2 - 2$ $\Rightarrow a^2 = 4$। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है। नियता के समीकरण $x = \pm \frac{a}{e}$ होते हैं। चूँकि $a = 2$ है,इसलिए $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3/2}} = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$।

यदि $y=x+\sqrt{2}$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$ की एक स्पर्श रेखा है,तो इसकी नियता (directrices) के समीकरण ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $\lambda x - 2y = \mu$ अतिपरवलय $a^{2}x^{2} - y^{2} = b^{2}$ की एक स्पर्श रेखा है। तो $\left(\frac{\lambda}{a}\right)^{2} - \left(\frac{\mu}{b}\right)^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $lx + my = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ का अभिलंब है,तो $\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2}$ का मान क्या होगा?

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