यदि $R = \frac{65}{8}$,$r_1 = \frac{21}{2}$,और $r_2 = 12$ क्रमशः एक त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों $A$ और $B$ के विपरीत बहिर्वृत्तों की त्रिज्याएँ और परिवृत्त की त्रिज्या हैं,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

यदि $\cos A + \cos B + 2\cos C = 2$ है,तो $\Delta ABC$ की भुजाएँ किसमें हैं?

यदि $\alpha, \beta$ और $\gamma$ एक $\triangle ABC$ के शीर्षलंबों की लंबाई हैं और इसका क्षेत्रफल $\Delta$ है,तो $\frac{\Delta^2}{R^2}\left(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}\right)$ का मान क्या होगा?

त्रिभुज $ABC$ में,यदि $\frac{a+b+c}{BC+AB}+\frac{a+b+c}{AC+AB}=3$ है,तो $\tan \frac{C}{8}=$

$\triangle ABC$ में,यदि $\frac{\cos A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c}$ और भुजा $a=2$ है,तो $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

एक गैर-समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में, मान लीजिए $p, q, r$ क्रमशः $P, Q, R$ कोणों के सम्मुख भुजाओं की लंबाई दर्शाते हैं। $R$ से खींची गई माध्यिका भुजा $PQ$ को $S$ पर मिलती है, $P$ से खींचा गया लंब भुजा $QR$ को $E$ पर मिलता है, और $RS$ तथा $PE$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $p=\sqrt{3}, q=1$, और $\triangle PQR$ के परिवृत्त की त्रिज्या $1$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $\triangle SOE$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ के अंतःवृत्त की त्रिज्या $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ की लंबाई $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ की लंबाई $= \frac{1}{6}$