જો $R = \frac{65}{8}$,$r_1 = \frac{21}{2}$,અને $r_2 = 12$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ ની સામેના બહિરવૃત્તોની ત્રિજ્યાઓ અને પરિત્રિજ્યા હોય,તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

એક અકાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQR$ માં, ધારો કે $p, q, r$ એ અનુક્રમે $P, Q, R$ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓની લંબાઈ દર્શાવે છે. $R$ માંથી દોરેલી મધ્યગા બાજુ $PQ$ ને $S$ માં મળે છે, $P$ માંથી દોરેલો લંબ બાજુ $QR$ ને $E$ માં મળે છે, અને $RS$ તથા $PE$ એ $O$ માં છેદે છે. જો $p=\sqrt{3}, q=1$, અને $\triangle PQR$ ના પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $1$ હોય, તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $\triangle SOE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ ના અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ ની લંબાઈ $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ ની લંબાઈ $= \frac{1}{6}$

$\triangle ABC$ માં, $A$ આગળ કાટખૂણો છે, પરિત્રિજ્યા, અંતઃત્રિજ્યા અને $A$ ની સામેના બહિરવૃતની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર અનુક્રમે $2:5:\lambda$ છે, તો સમીકરણ $x^2-(\lambda-5)x+(\lambda-6)=0$ ના બીજ શોધો.

જો $A, B, C$ એ ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોય,તો $\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\sin ^2 \frac{A}{2}-\sin ^2 \frac{B}{2}+\sin ^2 \frac{C}{2}-1} =$

સમીકરણ $\sin ^4 x-(k+3) \sin ^2 x-k-4=0$ નો ઉકેલ મળે જો

જો $\Delta ABC$ માં,$a = 6, b = 3$ અને $\cos(A - B) = \frac{4}{5}$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ ..... $square \, unit$ થશે.