यदि $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 1 \\ -5 & 7 & 2\end{array}\right]$ को एक सममित आव्यूह $P$ और एक विषम-सममित आव्यूह $Q$ के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है,तो $P^{T}-Q^{T}=$

माना $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & b & 1 \end{bmatrix}$ और $\operatorname{adj} M = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}$ जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $a+b=3$
$(2)$ $\operatorname{det}(\operatorname{adj} M^2) = 81$
$(3)$ $(\operatorname{adj} M)^{-1} + \operatorname{adj} M^{-1} = -M$
$(4)$ यदि $M \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$,तो $\alpha - \beta + \gamma = 3$

मान लीजिए $a = \min \{x^2 + 2x + 3, x \in R\}$ और $b = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{e^x - e^{-x}}$. तो $\sum_{r=0}^n a^r b^{n-r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $ A = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ और $ B = \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ है,तो $ A - B $ का मान क्या है?

मान लीजिए $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है जिसके अवयव शून्येतर हैं और $A^2 = I$ है,जहाँ $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। $tr(A) = A$ के विकर्ण अवयवों का योग और $|A| = A$ का सारणिक परिभाषित करें।
कथन $-1: tr(A) = 0$
कथन $-2: \det(A) = 1$

माना कि $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, और $P = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix}$ एक लंबकोणीय आव्यूह है ताकि $B = PAP^{-1}$ हो। तो: