यदि operatorname{Sinh}^{-1} x = log 3 और oper | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log 3$। चूंकि $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ होता है,इसलिए $x + \sqrt{x^2 + 1}

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$\log \sqrt{\frac{5}{3}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log 3$। चूंकि $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ होता है,इसलिए $x + \sqrt{x^2 + 1} = 3$ है। अतः $x + \sqrt{x^2 + 1} = e^{\log 3} = 3$। तब $\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2$,जिससे $6x = 8$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{4}{3}$। दिया गया है $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log \frac{3}{2}$। चूंकि $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \ln(y + \sqrt{y^2 - 1})$ होता है,इसलिए $y + \sqrt{y^2 - 1} = \frac{3}{2}$ है। तब $\sqrt{y^2 - 1} = \frac{3}{2} - y$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 - 1 = \frac{9}{4} - 3y + y^2$,जिससे $3y = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $y = \frac{13}{12}$। अब,$x - y = \frac{4}{3} - \frac{13}{12} = \frac{16 - 13}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$। हमें $\operatorname{Tanh}^{-1}(\frac{1}{4})$ का मान ज्ञात करना है। सूत्र $\operatorname{Tanh}^{-1} z = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+z}{1-z} \right)$ का उपयोग करने पर: $\operatorname{Tanh}^{-1}(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1 + 1/4}{1 - 1/4} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{5/4}{3/4} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{5}{3} \right) = \log \sqrt{\frac{5}{3}}$।

यदि $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log 3$ और $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log \frac{3}{2}$ है,तो $\operatorname{Tanh}^{-1}(x-y) = $

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