यदि f(x) = begin{cases} frac{(e^{ax}-1) log(1 | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) = 2$ होना चाहिए। सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ का मूल्यां

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(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) = 2$ होना चाहिए। सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करें: $\lim_{x 	o 0^+} \frac{(e^{ax}-1) \log(1+x)}{\sin^2 x} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{(\frac{e^{ax}-1}{ax} \cdot ax) \cdot (\frac{\log(1+x)}{x} \cdot x)}{(\frac{\sin x}{x})^2 \cdot x^2} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{ax \cdot x}{x^2} = a$. चूँकि $f(0) = 2$,इसलिए $a = 2$ है। इसके बाद,बाईं सीमा $(LHL)$ का मूल्यांकन करें: $\lim_{x 	o 0^-} \frac{\cos 4x - \cos bx}{	an^2 x} = \lim_{x 	o 0^-} \frac{-2 \sin(\frac{4x+bx}{2}) \sin(\frac{4x-bx}{2})}{	an^2 x} = \lim_{x 	o 0^-} \frac{-2 (\frac{4+b}{2}x) (\frac{4-b}{2}x)}{x^2} = -2 \cdot \frac{16-b^2}{4} = \frac{b^2-16}{2}$. चूँकि $f(0) = 2$,इसलिए $\frac{b^2-16}{2} = 2$,जिसका अर्थ है $b^2 - 16 = 4$,अतः $b^2 = 20$ है। अंत में,$\sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{20 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{(e^{ax}-1) \log(1+x)}{\sin^2 x} & \text{यदि } x > 0 \\ 2 & \text{यदि } x = 0 \\ \frac{\cos 4x - \cos bx}{\tan^2 x} & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर सतत है,तो $\sqrt{b^2 - a^2} = $

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1 + kx} - \sqrt{1 - kx}}{x} & \text{for } -1 \le x < 0 \\ 2x^2 + 3x - 2 & \text{for } 0 \le x \le 1 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $k = $

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+x-2}$ (जब $x \neq -2$) के रूप में परिभाषित किया गया है और यह $x = -2$ पर सतत है, तो $f(-2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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