જો alpha in R - {-1} અને f(x) = |(|x| + alpha | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $f(x) = |(|x| + \alpha)(|x| - 1)|$. ધારો કે $g(x) = (|x| + \alpha)(|x| - 1)$. વિધેય $f(x) = |g(x)|$ એ $g(x) = 0$ હોય તેવા બિંદુઓ આગળ (જ

Vedclass · Accepted Answer

$5$,જ્યારે $\alpha < 0$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $f(x) = |(|x| + \alpha)(|x| - 1)|$. ધારો કે $g(x) = (|x| + \alpha)(|x| - 1)$. વિધેય $f(x) = |g(x)|$ એ $g(x) = 0$ હોય તેવા બિંદુઓ આગળ (જો બીજ સાદા હોય તો) અને $|x|$ પદને કારણે $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી. કિસ્સો $1$: જો $\alpha > 0$ હોય,તો $|x| + \alpha = 0$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી. $g(x) = 0$ ના બીજ $|x| = 1$ છે,એટલે કે $x = 1, -1$. $x = 1, -1$ આગળ,વિધેય $f(x)$ ને તીક્ષ્ણ વળાંક (sharp corners) છે. વળી,$x = 0$ આગળ,$f(x) = |\alpha(-1)| = |-\alpha| = \alpha$. $|x|$ પદને કારણે $f'(0^+)$ અને $f'(0^-)$ અલગ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી. આમ,$\alpha > 0$ માટે,$3$ બિંદુઓ $(x = -1, 0, 1)$ આગળ વિધેય વિકલનીય નથી. કિસ્સો $2$: જો $\alpha  0$ અને $k 
eq 1$. તો $g(x) = (|x| - k)(|x| - 1)$. બીજ $|x| = k$ અને $|x| = 1$ છે,જે $x = \pm k$ અને $x = \pm 1$ આપે છે. આ $4$ અલગ બિંદુઓ છે જ્યાં $f(x) = 0$ થાય છે. વધુમાં,$|x|$ પદને કારણે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી. આમ,$\alpha વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$D$ સાચો જવાબ છે.

જો $\alpha \in R - \{-1\}$ અને $f(x) = |(|x| + \alpha)(|x| - 1)|$ હોય,તો $f(x)$ જે બિંદુઓ આગળ વિકલનીય ન હોય તેવા બિંદુઓની સંખ્યા શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{જો } x=1 \\ e^{(x^{10}-1)} + (x-1)^2 \sin \frac{1}{x-1}, & \text{જો } x \neq 1 \end{cases}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. તો:

જો $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે $f(x)=|x|+|\sin x|$ હોય,તો $x=0$ આગળ તેનું ડાબી બાજુનું વિકલિત (left hand derivative) શું થાય?

ધારો કે $a, b \in R$ અને $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=a \cos (|x^3-x|)+b|x| \sin (|x^3+x|)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f$ એ

જો $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1} x, & \text{જ્યારે } |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & \text{જ્યારે } |x| > 1 \end{cases}$ હોય,તો $\frac{d}{dx} f(x)$ નો પ્રદેશ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module