જો $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1} x, & \text{જ્યારે } |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & \text{જ્યારે } |x| > 1 \end{cases}$ હોય,તો $\frac{d}{dx} f(x)$ નો પ્રદેશ શોધો.

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} [\cos \pi x], & x \leq 1 \\ 2\{x\} - 1, & x > 1 \end{cases}$, જ્યાં $[\cdot]$ અને $\{\cdot\}$ અનુક્રમે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય અને $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે, તો $x = 1$ આગળ:

જો $f(x) = \begin{cases} \frac{x \ln(\cos x)}{\ln(1 + x^2)} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ હોય,તો:

ધારો કે $f(x)=a_0+a_1|x|+a_2|x|^2+a_3|x|^3$, જ્યાં $a_0, a_1, a_2, a_3$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે. તો $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે જો અને માત્ર જો:

ધારો કે $g: [-2, 2] \rightarrow R$ અને $f: [-2, 2] \rightarrow R$ એ બે વિધેયો છે જે $g(x) = \begin{cases} -1, & \text{જો } -2 \le x < 0 \\ x^2 - 1, & \text{જો } 0 \le x \le 2 \end{cases}$ અને $f(x) = |g(x)| + g(|x|) + 2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. અંતરાલ $(-2, 2)$ માં, $f$ એ $x = $ આગળ વિકલનીય નથી.

ધારો કે $f(x) = x|x|$ અને $g(x) = \sin x$.
વિધાન-$1$: $gof$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને તેનું વિકલિત તે બિંદુએ સતત છે.
વિધાન-$2$: $gof$ એ $x=0$ આગળ બે વાર વિકલનીય છે.