यदि alpha in R - {-1} और f(x) = |(|x| + alpha | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = |(|x| + \alpha)(|x| - 1)|$। माना $g(x) = (|x| + \alpha)(|x| - 1)$। फलन $f(x) = |g(x)|$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $g(x

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$5$,जब $\alpha < 0$

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(D) दिया गया है $f(x) = |(|x| + \alpha)(|x| - 1)|$। माना $g(x) = (|x| + \alpha)(|x| - 1)$। फलन $f(x) = |g(x)|$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $g(x) = 0$ (यदि मूल सरल हैं) और $|x|$ पद के कारण $x = 0$ पर। स्थिति $1$: यदि $\alpha > 0$ है,तो $|x| + \alpha = 0$ का कोई वास्तविक हल नहीं है। $g(x) = 0$ के मूल $|x| = 1$ हैं,अर्थात $x = 1, -1$। $x = 1, -1$ पर,फलन $f(x)$ में तीक्ष्ण मोड़ (sharp corners) हैं। साथ ही,$x = 0$ पर,$f(x) = |\alpha(-1)| = |-\alpha| = \alpha$। $|x|$ पद के कारण $f'(0^+)$ और $f'(0^-)$ अलग होंगे,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$\alpha > 0$ के लिए,$3$ बिंदु $(x = -1, 0, 1)$ हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है। स्थिति $2$: यदि $\alpha  0$ और $k 
eq 1$। तब $g(x) = (|x| - k)(|x| - 1)$। मूल $|x| = k$ और $|x| = 1$ हैं,जो $x = \pm k$ और $x = \pm 1$ देते हैं। ये $4$ अलग-अलग बिंदु हैं जहाँ $f(x) = 0$ है। इसके अतिरिक्त,$|x|$ पद के कारण $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$\alpha विकल्पों की तुलना करने पर,$D$ सही उत्तर है।

यदि $\alpha \in R - \{-1\}$ और $f(x) = |(|x| + \alpha)(|x| - 1)|$ है,तो उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है।

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