मान लीजिए f : R to R एक ऐसा फलन है कि सभी x i | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $|f(x)| \leq x^2$ है।$x = 0$ पर,$|f(0)| \leq 0^2 = 0$,जिसका अर्थ है $f(0) = 0$ है।$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच

Vedclass · Accepted Answer

सतत और अवकलनीय दोनों

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $|f(x)| \leq x^2$ है।$x = 0$ पर,$|f(0)| \leq 0^2 = 0$,जिसका अर्थ है $f(0) = 0$ है।$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज की सीमा का मूल्यांकन करते हैं:$f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h - 0} = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h)}{h}$।दी गई असमिका से,$|f(h)| \leq h^2$,इसलिए $|\frac{f(h)}{h}| \leq |h|$ है।सैंडविच प्रमेय द्वारा,जैसे $h 	o 0$,$|h| 	o 0$,इसलिए $\lim_{h 	o 0} \frac{f(h)}{h} = 0$ है।अतः,$f'(0) = 0$,जिसका अर्थ है कि $f$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।चूँकि अवकलनीयता निरंतरता (सांतत्य) को दर्शाती है,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत भी है।अतः,$f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत और अवकलनीय दोनों है।

मान लीजिए $f : R \to R$ एक ऐसा फलन है कि सभी $x \in R$ के लिए $|f(x)| \leq x^2$ है। तो $x = 0$ पर,$f$ है

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