यदि xy neq 0, x+y neq 0 और x^m y^n=(x+y)^{m+n | vedclass

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Question

(A) दिया गया है,$x^m y^n = (x+y)^{m+n}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:$m \ln x + n \ln y = (m+n) \ln(x+y)$.दोनों पक्षों का $x$ के साप

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$\frac{y}{x}$

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(A) दिया गया है,$x^m y^n = (x+y)^{m+n}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:$m \ln x + n \ln y = (m+n) \ln(x+y)$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{m+n}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}ight)$.$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:$\frac{m}{x} - \frac{m+n}{x+y} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{m+n}{x+y} - \frac{n}{y} ight)$.दोनों पक्षों को सरल करने पर:$\frac{m(x+y) - x(m+n)}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{y(m+n) - n(x+y)}{y(x+y)} ight)$.$\frac{mx + my - mx - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my + ny - nx - ny}{y(x+y)} ight)$.$\frac{my - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my - nx}{y(x+y)} ight)$.चूंकि $my - nx 
eq 0$,इसलिए यह पद कट जाएगा:$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{y}$.अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

यदि $xy \neq 0, x+y \neq 0$ और $x^m y^n=(x+y)^{m+n}$,जहाँ $m, n \notin N$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि ${e^y} + xy = e$ है,तो $x = 0$ पर क्रमित युग्म $\left( {\frac{{dy}}{{dx}},\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x^y=y^x$ है,तो $x(x-y \log x) \frac{d y}{d x}$ का मान क्या होगा?

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यदि $f(x) = (\cos x)(\cos 2x) \ldots (\cos nx)$ है, तो $f^{\prime}(x) + \sum_{r=1}^n (r \tan rx) f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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