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Question

(A) दिया गया है $y = \frac{\log x}{x}$।सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:$\frac{dy}{dx} = \fra

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(A) दिया गया है $y = \frac{\log x}{x}$।सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:$\frac{dy}{dx} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \log x(1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$।इसके बाद,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करें:$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \log x}{x^4}$।अब,इन मानों को $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 3x \frac{dy}{dx} + y$ में प्रतिस्थापित करें:$= x^2 \left( \frac{-3x + 2x \log x}{x^4} \right) + 3x \left( \frac{1 - \log x}{x^2} \right) + \frac{\log x}{x}$$= \frac{-3x + 2x \log x}{x^2} + \frac{3 - 3 \log x}{x} + \frac{\log x}{x}$$= \frac{-3 + 2 \log x}{x} + \frac{3 - 3 \log x}{x} + \frac{\log x}{x}$$= \frac{-3 + 2 \log x + 3 - 3 \log x + \log x}{x} = \frac{0}{x} = 0$।अतः,सभी $x > 0$ के लिए मान $0$ है।

यदि $y = \frac{\log x}{x}$ है,तो बिंदु $(\sqrt[3]{e}, \frac{\log(\sqrt[3]{e})}{\sqrt[3]{e}})$ पर $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} + 3x \frac{d y}{d x} + y$ का मान ज्ञात कीजिए।

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