यदि f(x)=cot ^{-1}left(frac{x^x-x^{-x}}{2}rig | vedclass

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Question

(D) दिया गया है,$f(x)=\cot ^{-1}\left(\frac{x^x-x^{-x}}{2}ight)$.माना $y = \cot ^{-1}\left(\frac{x^{2x}-1}{2x^x}ight)$.$x^x = 	an 	heta$ रखने पर

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-$1$

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(D) दिया गया है,$f(x)=\cot ^{-1}\left(\frac{x^x-x^{-x}}{2}ight)$.माना $y = \cot ^{-1}\left(\frac{x^{2x}-1}{2x^x}ight)$.$x^x = 	an 	heta$ रखने पर,$y = \cot ^{-1}\left(\frac{	an^2 	heta - 1}{2 	an 	heta}ight)$.चूँकि $\cot 2	heta = \frac{1-	an^2 	heta}{2 	an 	heta}$,इसलिए $y = \cot ^{-1}(-\cot 2	heta)$.गुणधर्म $\cot ^{-1}(-z) = \pi - \cot ^{-1}(z)$ का उपयोग करने पर,$y = \pi - \cot ^{-1}(\cot 2	heta) = \pi - 2	heta$.$	heta = 	an ^{-1}(x^x)$ वापस रखने पर,$y = \pi - 2 	an ^{-1}(x^x)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dy}{dx} = -2 \cdot \frac{1}{1+(x^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^x)$.चूँकि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x^x(1 + \ln x)}{1 + x^{2x}}$.$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2(1)^1(1 + \ln 1)}{1 + (1)^2} = -\frac{2(1)(1+0)}{2} = -1$.

यदि $f(x)=\cot ^{-1}\left(\frac{x^x-x^{-x}}{2}\right)$ है,तो $f^{\prime}(1)=$

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$x$ के सापेक्ष निम्नलिखित का अवकलन कीजिए: $\tan ^{-1}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)$

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