यदि int frac{sin left(x-frac{pi}{4}right)}{2+ | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{2+\sin 2 x} d x$ है। यहाँ $2 + \sin 2x = 1 + (1 + \sin 2x) = 1 + (\sin x + \cos

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$\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sin \left(x-\frac{\pi}{4}ight)}{2+\sin 2 x} d x$ है। यहाँ $2 + \sin 2x = 1 + (1 + \sin 2x) = 1 + (\sin x + \cos x)^2$ लिखा जा सकता है। अतः,$I = \int \frac{\sin x \cos(\pi/4) - \cos x \sin(\pi/4)}{1 + (\sin x + \cos x)^2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sin x - \cos x}{1 + (\sin x + \cos x)^2} dx$. माना $t = \sin x + \cos x$,तो $dt = (\cos x - \sin x) dx$,जिसका अर्थ है कि $-dt = (\sin x - \cos x) dx$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{-dt}{1 + t^2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}(t) + C$. $t = \sin x + \cos x$ वापस रखने पर,हमें $I = -\frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}(\sin x + \cos x) + C$ प्राप्त होता है। दिए गए रूप $-\frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}(f(x)) + C$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \sin x + \cos x$ प्राप्त होता है। चूंकि $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4})$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

यदि $\int \frac{\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{2+\sin 2 x} d x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}(f(x))+C$ है,तो $f(x)=$

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