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Question

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{6 x^3+7 x^2+6 x-3}{(x-1)(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.दोनों पक्षों को हर

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$42$

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(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{6 x^3+7 x^2+6 x-3}{(x-1)(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.दोनों पक्षों को हर $(x-1)(x+3)(x^2+1)$ से गुणा करने पर:$6x^3 + 7x^2 + 6x - 3 = A(x+3)(x^2+1) + B(x-1)(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)(x+3)$.$x=1$ के लिए: $6(1)^3 + 7(1)^2 + 6(1) - 3 = A(1+3)(1^2+1) \Rightarrow 16 = 8A \Rightarrow A=2$.$x=-3$ के लिए: $6(-3)^3 + 7(-3)^2 + 6(-3) - 3 = B(-3-1)((-3)^2+1) \Rightarrow -162 + 63 - 18 - 3 = B(-4)(10) \Rightarrow -120 = -40B \Rightarrow B=3$.अचर पदों की तुलना करने पर ($x=0$ रखने पर): $-3 = A(3)(1) + B(-1)(1) + D(-1)(3) \Rightarrow -3 = 3A - B - 3D$.$A=2$ और $B=3$ रखने पर: $-3 = 3(2) - 3 - 3D \Rightarrow -3 = 3 - 3D \Rightarrow 3D = 6 \Rightarrow D=2$.$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $6 = A + B + C \Rightarrow 6 = 2 + 3 + C \Rightarrow C=1$.अतः,$n = A+B+C+D = 2+3+1+2 = 8$.दिया है कि ${}^{50}C_n = {}^{50}C_r$,हम जानते हैं कि या तो $r=n$ या $r=50-n$ होता है।चूंकि $r=n=8$ विकल्प में नहीं है,इसलिए $r = 50-8 = 42$ प्राप्त होता है।

यदि $\frac{6 x^3+7 x^2+6 x-3}{(x-1)(x+3)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}+\frac{C x+D}{x^2+1}$ और $n=A+B+C+D$ तथा ${ }^{50} C_n={ }^{50} C_r$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

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