यदि x neq frac{-3}{sqrt{2}},तो int frac{x^2}{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है,$\int \frac{x^2}{2 x^2+6 \sqrt{2} x+9} d x$. ध्यान दें कि $2 x^2+6 \sqrt{2} x+9 = (\sqrt{2} x+3)^2$ है। हम अंश को इस प्रकार लिख सकते ह

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$\frac{1}{2 \sqrt{2}}\left[(\sqrt{2} x+3)-6 \log |\sqrt{2} x+3|-\frac{9}{\sqrt{2} x+3}\right]+c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है,$\int \frac{x^2}{2 x^2+6 \sqrt{2} x+9} d x$. ध्यान दें कि $2 x^2+6 \sqrt{2} x+9 = (\sqrt{2} x+3)^2$ है। हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं: $x^2 = \frac{1}{2} (2 x^2 + 6 \sqrt{2} x + 9) - 3 \sqrt{2} x - \frac{9}{2}$. अतः,समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \left( \frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{2} x + \frac{9}{2}}{(\sqrt{2} x + 3)^2} \right) d x = \frac{x}{2} - \int \frac{3 \sqrt{2} x + \frac{9}{2}}{(\sqrt{2} x + 3)^2} d x$. मान लीजिए $u = \sqrt{2} x + 3$,तो $du = \sqrt{2} dx$,इसलिए $dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$ और $x = \frac{u-3}{\sqrt{2}}$. समाकलन का भाग $\int \frac{3 \sqrt{2} (\frac{u-3}{\sqrt{2}}) + \frac{9}{2}}{u^2} \frac{du}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{3u - 9 + \frac{9}{2}}{u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{3u - \frac{9}{2}}{u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \left( \frac{3}{u} - \frac{9}{2u^2} \right) du$ है। $= \frac{1}{\sqrt{2}} [3 \log |u| + \frac{9}{2u}] + c = \frac{3}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} x + 3| + \frac{9}{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} x + 3)} + c$. इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x}{2} - \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} x + 3| + \frac{9}{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} x + 3)} \right) + c$. विकल्पों में दिए गए रूप से मिलाने के लिए,हम $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ को उभयनिष्ठ लेते हैं: $= \frac{1}{2 \sqrt{2}} [\sqrt{2} x - 6 \log |\sqrt{2} x + 3| - \frac{9}{\sqrt{2} x + 3}] + c$. कोष्ठक के अंदर $3$ जोड़ने और घटाने पर: $= \frac{1}{2 \sqrt{2}} [(\sqrt{2} x + 3) - 3 - 6 \log |\sqrt{2} x + 3| - \frac{9}{\sqrt{2} x + 3}] + c$. चूँकि अचर पद $c$ में समाहित हो जाएगा,इसलिए यह विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।

यदि $x \neq \frac{-3}{\sqrt{2}}$,तो $\int \frac{x^2}{2 x^2+6 \sqrt{2} x+9} d x=$

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$\int \frac{dx}{\sqrt{x + a} + \sqrt{x + b}} = $

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$\int {\frac{{{x^3} - x - 2}}{{(1 - {x^2})}}\,dx} = $

$\int {e^{\log (\sin x)}} \, dx = $

$f^{\prime}(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ और $f(0) = \frac{1}{3}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है।

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