यदि y = A(x) e^{int P dx},frac{dy}{dx} + P(x) | vedclass

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Question

(D) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$.समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ है।सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF d

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$Q(x) e^{\int P dx}$

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(D) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$.समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ है।सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।दिया गया है कि $y = A(x) e^{\int P(x) dx}$,इसलिए $A(x) = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx$ है।अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$A'(x) = \frac{d}{dx} [\int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx]$.चूंकि अवकलन और समाकलन एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं:$A'(x) = Q(x) e^{\int P(x) dx}$.

यदि $y = A(x) e^{\int P dx}$,$\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ का एक हल है,तो $A'(x) =$

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अवकल समीकरण $(\tan ^{-1} y-x) dy = (1+y^2) dx$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x dy = (y + x^3 \cos x) dx$ का हल है,जहाँ $y(\pi) = 0$ है। तो $y(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2x + x^2 \cot x$ $(x \neq 0)$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $x = \frac{\pi}{2}$ पर $y = 0$ है।

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