यदि ${m_1}$ और ${m_2}$ बिंदु $(6, 2)$ से गुजरने वाले अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ की स्पर्श रेखाओं के ढाल हैं,तो:

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) की नाभियाँ दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ की नाभियों के समान हैं और अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity),दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता की $\frac{15}{8}$ गुनी है,तो अतिपरवलय पर स्थित बिंदु $\left(\sqrt{2}, \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}}\right)$ की छोटी नाभीय दूरी किसके बराबर है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{25} = 1$ की उत्केंद्रता (eccentricity) है

एक अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं और इसकी उत्केंद्रता $\frac{3}{2}$ है। अतिपरवलय पर प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु पर रेखा $2x + 3y = 6$ के लंबवत एक स्पर्श रेखा खींची गई है। यदि स्पर्श रेखा द्वारा $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं,तो $|6a| + |5b|$ का मान $..........$ है।

सरल रेखा $2x - y = 0$ के समानांतर एक रेखा अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ को बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श करती है। तो $x_{1}^{2} + 5y_{1}^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक अतिपरवलय का केंद्र मूल बिंदु पर है,यह $(4, 2)$ बिंदु से होकर गुजरता है और $x$-अक्ष पर इसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $4$ है। तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।