यदि $\left(\frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta}\right)^{2020}+\left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta}\right)^{2021} = x+i y$ है,तो $\theta=\frac{\pi}{2}$ पर $x+y$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $2z^2 - 3z - 2i = 0$ के मूल हैं,जहाँ $i = \sqrt{-1}$,तो $16 \cdot \operatorname{Re}\left(\frac{\alpha^{19} + \beta^{19} + \alpha^{11} + \beta^{11}}{\alpha^{15} + \beta^{15}}\right) \cdot \operatorname{Im}\left(\frac{\alpha^{19} + \beta^{19} + \alpha^{11} + \beta^{11}}{\alpha^{15} + \beta^{15}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $z_1$ और $z_2$ कोई दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि $3|z_1| = 4|z_2|$। यदि $z = \frac{3z_1}{2z_2} + \frac{2z_2}{3z_1}$ है,तो:

मान लीजिए $z, w \in \mathbb{C}$,$z^2 + \bar{w} = z$ और $w^2 + \bar{z} = w$ को संतुष्ट करते हैं,तो सम्मिश्र संख्याओं के क्रमित युग्मों $(z, w)$ की संख्या ज्ञात कीजिए।

यदि $z_n = (1 + i \sqrt{2})^n$, $n \in Z$ है, तो $\frac{1}{9} \operatorname{Re}(z_4 \bar{z}_5) = $

सम्मिश्र संख्याएँ $\sin x + i \cos 2x$ और $\cos x - i \sin 2x$ एक-दूसरे की संयुग्मी (conjugate) हैं,तो