यदि omega इकाई का घनमूल है और sum_{k=1}^nleft | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$\sum_{k=1}^n\left(k+\frac{1}{\omega}\right)\left(k+\frac{1}{\omega^2}\right)=340$ योगफल के अंदर के पद का विस्तार करने पर: $\sum_{k=1}

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$10$

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(C) दिया गया है,$\sum_{k=1}^n\left(k+\frac{1}{\omega}\right)\left(k+\frac{1}{\omega^2}\right)=340$ योगफल के अंदर के पद का विस्तार करने पर: $\sum_{k=1}^n\left(k^2+k\left(\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega}\right)+\frac{1}{\omega^3}\right)=340$ चूंकि $\omega^3=1$,इसलिए $\frac{1}{\omega}=\omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2}=\omega$ होता है। साथ ही,$1+\omega+\omega^2=0 \implies \omega+\omega^2=-1$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{k=1}^n\left(k^2+k(-1)+1\right)=340$ $\sum_{k=1}^n(k^2-k+1)=340$ योगफल सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + n = 340$ $\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - 1 \right] + n = 340$ $\frac{n(n+1)(n-1)}{3} + n = 340$ $n^3+2n = 1020$ मानों की जाँच करने पर,$n=10$ के लिए: $10^3 + 2(10) = 1000 + 20 = 1020$। अतः,$n=10$।

यदि $\omega$ इकाई का घनमूल है और $\sum_{k=1}^n\left(k+\frac{1}{\omega}\right)\left(k+\frac{1}{\omega^2}\right)=340$ है,तो $n=$

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