यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है और f(n),(1+x)(1- | vedclass

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Question

(B) व्यंजक $(1+x)(1-x)^n$ है। $(1+x)(1-x)^n$ में $x^n$ का गुणांक,$(1-x)^n$ में $x^n$ के गुणांक और $(1-x)^n$ में $x^{n-1}$ के गुणांक का योग है। द्विपद

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$2022$

Vedclass · Answer

(B) व्यंजक $(1+x)(1-x)^n$ है। $(1+x)(1-x)^n$ में $x^n$ का गुणांक,$(1-x)^n$ में $x^n$ के गुणांक और $(1-x)^n$ में $x^{n-1}$ के गुणांक का योग है। द्विपद विस्तार $(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k$ का उपयोग करते हुए,$x^k$ का गुणांक $\binom{n}{k}(-1)^k$ है। अतः,$f(n) = \binom{n}{n}(-1)^n + \binom{n}{n-1}(-1)^{n-1}$. $f(n) = 1 \cdot (-1)^n + n \cdot (-1)^{n-1}$. $n = 2023$ के लिए: $f(2023) = (-1)^{2023} + 2023 \cdot (-1)^{2022}$. $f(2023) = -1 + 2023(1) = 2022$.

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $f(n)$,$(1+x)(1-x)^n$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक है,तो $f(2023) = $

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$ \left(\frac{10}{x}+\frac{x}{10}\right)^{10} $ के विस्तार का मध्य पद ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में मध्य पद $\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{n!} 2^n x^n$ है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

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