यदि {}^n C_0, {}^n C_1, {}^n C_2, ldots, {}^n | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $n=10$,हमें $S = \sum_{r=1}^{10} {}^n C_r r(r-4)$ का मूल्यांकन करना है।पद का विस्तार करने पर: $r(r-4) = r(r-1) - 3r$.अतः,$S = \sum_{r=

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$7680$

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(B) दिया गया है $n=10$,हमें $S = \sum_{r=1}^{10} {}^n C_r r(r-4)$ का मूल्यांकन करना है।पद का विस्तार करने पर: $r(r-4) = r(r-1) - 3r$.अतः,$S = \sum_{r=1}^{10} {}^n C_r r(r-1) - 3 \sum_{r=1}^{10} r {}^n C_r$.सर्वसमिकाओं $r(r-1) {}^n C_r = n(n-1) {}^{n-2} C_{r-2}$ और $r {}^n C_r = n {}^{n-1} C_{r-1}$ का उपयोग करने पर:$S = n(n-1) \sum_{r=2}^{10} {}^{n-2} C_{r-2} - 3n \sum_{r=1}^{10} {}^{n-1} C_{r-1}$.चूंकि $\sum_{k=0}^{m} {}^m C_k = 2^m$,इसलिए:$S = n(n-1) 2^{n-2} - 3n 2^{n-1}$.$n=10$ रखने पर:$S = 10(9) 2^8 - 3(10) 2^9 = 90 \cdot 2^8 - 60 \cdot 2^8 = 30 \cdot 2^8$.$S = 30 	imes 256 = 7680$.

यदि ${}^n C_0, {}^n C_1, {}^n C_2, \ldots, {}^n C_n$ द्विपद गुणांक $(1+x)^n$ के विस्तार में हैं,तो $n=10$ के लिए,$\sum_{r=1}^{10} {}^n C_r \cdot r(r-4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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