यदि y=3x केंद्र (1,1) वाले एक वृत्त की स्पर्श | vedclass

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Question

(A) रेखा $y-3x=0$ वृत्त की एक स्पर्श रेखा है। त्रिज्या $r$,केंद्र $(1,1)$ से रेखा $3x-y=0$ की लंबवत दूरी है।$r = \frac{|3(1) - 1(1)|}{\sqrt{3^2 + (-1)

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$3y=x$

Vedclass · Answer

(A) रेखा $y-3x=0$ वृत्त की एक स्पर्श रेखा है। त्रिज्या $r$,केंद्र $(1,1)$ से रेखा $3x-y=0$ की लंबवत दूरी है।$r = \frac{|3(1) - 1(1)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3-1|}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.माना मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर जाने वाली दूसरी स्पर्श रेखा $y=mx$ है,अर्थात $mx-y=0$ है।केंद्र $(1,1)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी भी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।$r = \frac{|m(1) - 1(1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}$.$r$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:$\frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$\frac{(m-1)^2}{m^2+1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.$5(m^2 - 2m + 1) = 2(m^2 + 1)$.$5m^2 - 10m + 5 = 2m^2 + 2$.$3m^2 - 10m + 3 = 0$.$3m^2 - 9m - m + 3 = 0$.$3m(m-3) - 1(m-3) = 0$.$(3m-1)(m-3) = 0$.अतः,$m=3$ या $m=\frac{1}{3}$ है।चूंकि $m=3$ दी गई स्पर्श रेखा $y=3x$ के अनुरूप है,इसलिए दूसरी स्पर्श रेखा $y=\frac{1}{3}x$ है,जो $3y=x$ है।

यदि $y=3x$ केंद्र $(1,1)$ वाले एक वृत्त की स्पर्श रेखा है,तो $(0,0)$ से होकर जाने वाली दूसरी स्पर्श रेखा है

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