यदि {x} = x - [x] जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक le | vedclass

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Question

(A) माना $h = -x$,जहाँ $h > 0$ जैसे $x \rightarrow 0^-$. चूंकि $x$,$0$ से थोड़ा कम है,$[x] = -1$. अतः,$\{x\} = x - (-1) = x + 1 = 1 - h$. जैसे $x \rig

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(A) माना $h = -x$,जहाँ $h > 0$ जैसे $x ightarrow 0^-$. चूंकि $x$,$0$ से थोड़ा कम है,$[x] = -1$. अतः,$\{x\} = x - (-1) = x + 1 = 1 - h$. जैसे $x ightarrow 0^-$,$h ightarrow 0^+$,इसलिए $\{x\} ightarrow 1^-$. माना $u = \{x\}$. जैसे $u ightarrow 1^-$,सीमा $\lim_{u ightarrow 1^-} \frac{\cos^{-1}(1-u^2) \sin^{-1}(1-u)}{u(1-u^3)} = \lim_{u ightarrow 1^-} \frac{\cos^{-1}(1-u^2) \sin^{-1}(1-u)}{u(1-u)(1+u+u^2)}$ हो जाती है। माना $t = 1-u$. जैसे $u ightarrow 1$,$t ightarrow 0^+$. तब $1-u^2 = (1-u)(1+u) = t(2-t)$. जैसे $t ightarrow 0^+$,$\cos^{-1}(1-u^2) = \cos^{-1}(t(2-t)) ightarrow \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$. साथ ही,$\sin^{-1}(1-u) = \sin^{-1}(t) \approx t$ जैसे $t ightarrow 0$. इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\lim_{t ightarrow 0^+} \frac{(\frac{\pi}{2}) \cdot t}{(1-t)(t)(1+(1-t)+(1-t)^2)} = \frac{\pi/2}{1 \cdot 3} = \frac{\pi}{6}$. अतः,$	heta = \frac{\pi}{6}$. इसलिए,$	an 	heta = 	an(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

यदि $\{x\} = x - [x]$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है और $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-\{x\}^2) \sin^{-1}(1-\{x\})}{\{x\}-\{x\}^4} = \theta$,तो $\tan \theta =$

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