यदि lim _{x rightarrow 0} frac{3^{x^3}-left(1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x^3}-\left(1-x^3\right)^{2 / 3}}{x^2 \sin x}$ है।चूँकि $x \rightarrow 0$ होने पर $\sin x \appr

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$2$

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(B) दिया गया सीमा $L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{3^{x^3}-\left(1-x^3ight)^{2 / 3}}{x^2 \sin x}$ है।चूँकि $x ightarrow 0$ होने पर $\sin x \approx x$, व्यंजक $\lim _{x ightarrow 0} \frac{3^{x^3}-\left(1-x^3ight)^{2 / 3}}{x^3}$ बन जाता है।श्रेणी विस्तार $a^u = 1 + u \ln a + O(u^2)$ और $(1+u)^n = 1 + nu + O(u^2)$ का उपयोग करने पर:$3^{x^3} = 1 + x^3 \ln 3 + O(x^6)$$(1-x^3)^{2/3} = 1 - \frac{2}{3}x^3 + O(x^6)$इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:$L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{(1 + x^3 \ln 3) - (1 - \frac{2}{3}x^3)}{x^3} = \lim _{x ightarrow 0} \frac{x^3(\ln 3 + \frac{2}{3})}{x^3} = \ln 3 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} + \log_e 3$.इसकी तुलना $p + \log q$ से करने पर, हमें $p = \frac{2}{3}$ और $q = 3$ प्राप्त होता है।अतः, $pq = \frac{2}{3} 	imes 3 = 2$.

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x^3}-\left(1-x^3\right)^{2 / 3}}{x^2 \sin x}=p+\log q$ है, तो $pq=$

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