यदि log (1+x)=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}-fra | vedclass

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Question

(C) दिया गया सीमा व्यंजक: $\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{\log (1+x)^{1+x}}{x^2} - \frac{1}{x} \right] = k$ गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उप

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$6$

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(C) दिया गया सीमा व्यंजक: $\lim _{x ightarrow 0} \left[ \frac{\log (1+x)^{1+x}}{x^2} - \frac{1}{x} ight] = k$ गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर: $\lim _{x ightarrow 0} \left[ \frac{(1+x) \log (1+x) - x}{x^2} ight] = k$ चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L$' Hospital नियम लागू करते हैं: $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} [(1+x) \log (1+x) - x]}{\frac{d}{dx} [x^2]} = k$ $\lim _{x ightarrow 0} \frac{[1 \cdot \log (1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x}] - 1}{2x} = k$ $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\log (1+x) + 1 - 1}{2x} = k$ $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{2x} = k$ $\frac{1}{2} \lim _{x ightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{x} = k$ चूंकि $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{x} = 1$,इसलिए $k = \frac{1}{2} 	imes 1 = \frac{1}{2}$। अतः,$12k = 12 	imes \frac{1}{2} = 6$।

यदि $\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots \infty$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)^{1+x}}{x^2}-\frac{1}{x}=k$ है,तो $12 k=$

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$\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right] = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^n}}}{{{e^x}}} = 0$ के लिए

मान लीजिए $f(2) = 4$ और $f'(2) = 4$,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\frac{{xf(2) - 2f(x)}}{{x - 2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $l = \mathop {Lim}\limits_{x \to {0^ + }} x^m (\ln x)^n$ जहाँ $m, n \in N$,तो:

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