यदि d_1, d_2, d_3 एक triangle ABC के तीन बहिर | vedclass

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Question

(A) बहिर्वृत्तों के व्यास $d_1 = \frac{2\Delta}{s-a}$,$d_2 = \frac{2\Delta}{s-b}$,और $d_3 = \frac{2\Delta}{s-c}$ द्वारा दिए जाते हैं।हमें $d_1 d_2 + d

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$(a+b+c)^2$

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(A) बहिर्वृत्तों के व्यास $d_1 = \frac{2\Delta}{s-a}$,$d_2 = \frac{2\Delta}{s-b}$,और $d_3 = \frac{2\Delta}{s-c}$ द्वारा दिए जाते हैं।हमें $d_1 d_2 + d_2 d_3 + d_3 d_1 = \frac{4\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{4\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{4\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$ की गणना करनी है।$4\Delta^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $4\Delta^2 \left[ \frac{(s-c) + (s-a) + (s-b)}{(s-a)(s-b)(s-c)} \right]$ प्राप्त होता है।चूंकि $a+b+c = 2s$,अंश $3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$ हो जाता है।अतः,व्यंजक $\frac{4\Delta^2 \cdot s}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ बन जाता है।हेरोन के सूत्र के अनुसार,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$।इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{4\Delta^2 \cdot s}{\Delta^2 / s} = 4s^2 = (2s)^2 = (a+b+c)^2$ प्राप्त होता है।

यदि $d_1, d_2, d_3$ एक $\triangle ABC$ के तीन बहिर्वृत्तों (ex-circles) के व्यास हैं,तो $d_1 d_2 + d_2 d_3 + d_3 d_1 =$

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$\triangle ABC$ में,निम्नलिखित में से कौन से सूत्र सही हैं?
$I. r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$II. r_1 = (s-a) \tan \frac{A}{2}$
$III. r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$

$\triangle ABC$ में,$a: b: c = 4: 5: 6$ है। परिवृत्त की त्रिज्या और अंतःवृत्त की त्रिज्या का अनुपात ज्ञात कीजिए।

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