यदि I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह (identity matri | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$.हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix

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$A^n = nA - (n-1)I$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$.हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$अवलोकन द्वारा, हम अनुमान लगाते हैं कि $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \ 0 & 1 \end{bmatrix}$.अब, व्यंजक $nA - (n-1)I$ का मूल्यांकन करें:$nA - (n-1)I = n \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} - (n-1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix} n & n \ 0 & n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} n-1 & 0 \ 0 & n-1 \end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix} n - (n-1) & n - 0 \ 0 - 0 & n - (n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & n \ 0 & 1 \end{bmatrix} = A^n$.अतः, $A^n = nA - (n-1)I$ सही है।

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