यदि f(n) = tan left[tan ^{-1} frac{1}{1+2} + | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(n) = 	an \left[\sum_{k=1}^{n} 	an ^{-1} \frac{1}{1+k(k+1)}ight]$.हम जानते हैं कि $	an ^{-1} x - 	an ^{-1} y = 	an ^{-1} \lef

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$\frac{2021}{2023}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(n) = 	an \left[\sum_{k=1}^{n} 	an ^{-1} \frac{1}{1+k(k+1)}ight]$.हम जानते हैं कि $	an ^{-1} x - 	an ^{-1} y = 	an ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$.हम सामान्य पद को $	an ^{-1} \left(\frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}ight) = 	an ^{-1}(k+1) - 	an ^{-1}(k)$ के रूप में लिख सकते हैं।इस प्रकार, योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी बन जाता है:$S_n = (	an ^{-1}(2) - 	an ^{-1}(1)) + (	an ^{-1}(3) - 	an ^{-1}(2)) + \ldots + (	an ^{-1}(n+1) - 	an ^{-1}(n))$.सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं, जिससे $S_n = 	an ^{-1}(n+1) - 	an ^{-1}(1)$ बचता है।सूत्र $	an ^{-1} A - 	an ^{-1} B = 	an ^{-1} \left(\frac{A-B}{1+AB}ight)$ का उपयोग करने पर:$S_n = 	an ^{-1} \left(\frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)}ight) = 	an ^{-1} \left(\frac{n}{n+2}ight)$.अतः, $f(n) = 	an \left[	an ^{-1} \left(\frac{n}{n+2}ight)ight] = \frac{n}{n+2}$.$n = 2021$ के लिए, $f(2021) = \frac{2021}{2021+2} = \frac{2021}{2023}$.

यदि $f(n) = \tan \left[\tan ^{-1} \frac{1}{1+2} + \tan ^{-1} \frac{1}{1+6} + \tan ^{-1} \frac{1}{1+12} + \ldots + \tan ^{-1} \frac{1}{1+n(n+1)}\right]$ है, तो $f(2021) =$

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