यदि f:[0, infty) rightarrow[0, infty) को f(x) | vedclass

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Question

(B) हमें दिया गया है $f(x) = \frac{x}{1+x}$ जहाँ $f: [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ है। एकैकी (one-one) के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।

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एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं

Vedclass · Answer

(B) हमें दिया गया है $f(x) = \frac{x}{1+x}$ जहाँ $f: [0, \infty) ightarrow [0, \infty)$ है। एकैकी (one-one) के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। $\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$ $x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1)$ $x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2$ $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$, इसलिए फलन एकैकी है। आच्छादक (onto) के लिए: मान लीजिए $y = f(x) = \frac{x}{1+x}$ है। $y(1+x) = x \implies y + xy = x \implies y = x(1-y) \implies x = \frac{y}{1-y}$। चूँकि $x \in [0, \infty)$, इसलिए $\frac{y}{1-y} \geq 0$ होना चाहिए। इसका अर्थ है कि $y \in [0, 1)$ है। सह-प्रांत $[0, \infty)$ है, लेकिन परिसर $[0, 1)$ है। परिसर $
eq$ सह-प्रांत होने के कारण, फलन आच्छादक नहीं है। अतः, $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

यदि $f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ को $f(x)=\frac{x}{1+x}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f$ है

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