यदि f: R rightarrow R को f(x) = begin{cases} | vedclass

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Question

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए, $x \rightarrow 0$ पर $f(x)$ की सीमा का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए। $f(0) = k$.

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$5$

Vedclass · Answer

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए, $x \rightarrow 0$ पर $f(x)$ की सीमा का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए। $f(0) = k$. अब, हम सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + 3 x^2 - \cos 2 x}{x^2}$ त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ का उपयोग करते हुए: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + 3 x^2 - (1 - 2 \sin^2 x)}{x^2}$ $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + 3 x^2 - 1 + 2 \sin^2 x}{x^2}$ $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3 x^2 + 2 \sin^2 x}{x^2}$ $= \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{3 x^2}{x^2} + 2 \frac{\sin^2 x}{x^2} \right)$ $= \lim_{x \rightarrow 0} \left( 3 + 2 \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \right)$ चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, इसलिए: $= 3 + 2(1)^2 = 3 + 2 = 5$. चूंकि फलन $x = 0$ पर सतत है, $f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$, इसलिए $k = 5$।

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