यदि f: R rightarrow R बिंदु a in R पर एक अवकल | vedclass

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Question

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow a} \frac{x f(a)-a f(x)}{x-a}$ है।चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है, हम एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग कर सकते हैं या व

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$\left(1-a^2\right) f(a)$

Vedclass · Answer

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow a} \frac{x f(a)-a f(x)}{x-a}$ है।चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है, हम एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग कर सकते हैं या व्यंजक को सरल कर सकते हैं।अंश में $a f(a)$ जोड़ने और घटाने पर:$L = \lim _{x \rightarrow a} \frac{x f(a) - a f(a) + a f(a) - a f(x)}{x-a}$$L = \lim _{x \rightarrow a} \left[ \frac{f(a)(x-a)}{x-a} - a \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \right]$$L = f(a) - a \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$अवकलन की परिभाषा के अनुसार, $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^{\prime}(a)$ होता है।अतः, $L = f(a) - a f^{\prime}(a)$।दिया गया है कि $f^{\prime}(a) = a f(a)$, मान प्रतिस्थापित करने पर:$L = f(a) - a(a f(a))$$L = f(a) - a^2 f(a)$$L = (1-a^2) f(a)$।

यदि $f: R \rightarrow R$ बिंदु $a \in R$ पर एक अवकलनीय फलन है, जहाँ $f^{\prime}(a)=a f(a)$, तो $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x f(a)-a f(x)}{x-a}=$

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