यदि a f(x)+b fleft(frac{1}{x}right)=x+1, और f | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $a f(x)+b f\left(\frac{1}{x}\right)=x+1$ $(i)$ $x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर, हमें प्राप्त होता है $a f\left(\frac{1}{x}\right)+b f

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$3$

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(B) दिया गया है $a f(x)+b f\left(\frac{1}{x}\right)=x+1$ $(i)$ $x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर, हमें प्राप्त होता है $a f\left(\frac{1}{x}\right)+b f(x)=\frac{1}{x}+1$ $(ii)$ $(i)$ को $a$ से और $(ii)$ को $b$ से गुणा करने पर: $a^2 f(x)+a b f\left(\frac{1}{x}\right)=a x+a$ $b^2 f(x)+a b f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{b}{x}+b$ दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(a^2-b^2) f(x)=a x-\frac{b}{x}+a-b$ $f(x)=\frac{a x}{a^2-b^2}-\frac{b}{x(a^2-b^2)}+\frac{1}{a+b}$ अब, $x^2 f(x)=\frac{a x^3}{a^2-b^2}-\frac{b x}{a^2-b^2}+\frac{x^2}{a+b}$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{d x}\left(x^2 f(x)\right)=\frac{3 a x^2}{a^2-b^2}-\frac{b}{a^2-b^2}+\frac{2 x}{a+b}$ $2 x^2+2 x+\frac{1}{3}$ के साथ तुलना करने पर: $\frac{3 a}{a^2-b^2}=2$ $(iii)$ $\frac{2}{a+b}=2 \Rightarrow a+b=1$ $(iv)$ $-\frac{b}{a^2-b^2}=\frac{1}{3}$ $(v)$ $(iv)$ से, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)=a-b$. $(iii)$ और $(v)$ में मान रखने पर: $\frac{3 a}{a-b}=2 \Rightarrow 3 a=2 a-2 b \Rightarrow a=-2 b$ $-\frac{b}{a-b}=\frac{1}{3} \Rightarrow -3 b=a-b \Rightarrow a=-2 b$ चूंकि $a+b=1$ और $a=-2 b$, इसलिए $-2 b+b=1 \Rightarrow b=-1$ और $a=2$. अतः, $a-b=2-(-1)=3$.

यदि $a f(x)+b f\left(\frac{1}{x}\right)=x+1$, और $\frac{d}{d x}\left(x^2 f(x)\right)=2 x^2+2 x+\frac{1}{3}$ है, तो $a-b=$

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