यदि int(1+x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx = f(x)+c | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int (1+x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$. हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int e^{x+x^{-1}} dx + \int x(1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}} dx$.

Vedclass · Accepted Answer

$e^2+e^{-2}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int (1+x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$. हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int e^{x+x^{-1}} dx + \int x(1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}} dx$. ध्यान दें कि $e^{x+x^{-1}}$ का अवकलन $(1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}}$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) के सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए, $u = x$ और $dv = (1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}} dx$ लें। तब $du = dx$ और $v = e^{x+x^{-1}}$ प्राप्त होता है। अतः, $\int x(1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}} dx = x e^{x+x^{-1}} - \int e^{x+x^{-1}} dx$. इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int e^{x+x^{-1}} dx + x e^{x+x^{-1}} - \int e^{x+x^{-1}} dx + c = x e^{x+x^{-1}} + c$. इसलिए, $f(x) = x e^{x+x^{-1}}$. अब, $f(1) - f(-1)$ की गणना करें: $f(1) = 1 \cdot e^{1+1} = e^2$. $f(-1) = -1 \cdot e^{-1-1} = -e^{-2}$. $f(1) - f(-1) = e^2 - (-e^{-2}) = e^2 + e^{-2}$.

यदि $\int(1+x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx = f(x)+c$ है, तो $f(1)-f(-1)=$

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