यदि I_1 = int sin^6 x , dx और I_2 = int cos^6 | vedclass

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Question

(C) हमारे पास $I_1 + I_2 = \int (\sin^6 x + \cos^6 x) \, dx$ है। सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $a = \sin^2 x$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{32}(20x + 3 \sin 4x) + c$

Vedclass · Answer

(C) हमारे पास $I_1 + I_2 = \int (\sin^6 x + \cos^6 x) \, dx$ है। सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $a = \sin^2 x$ और $b = \cos^2 x$: $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$। चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, यह $\sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x$ में सरल हो जाता है। हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$। अतः, $\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4}(2 \sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{3}{4} \sin^2(2x)$। $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें $1 - \frac{3}{4} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} ight) = 1 - \frac{3}{8} + \frac{3}{8} \cos 4x = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} \cos 4x$ प्राप्त होता है। इसका समाकलन करने पर: $\int (\frac{5}{8} + \frac{3}{8} \cos 4x) \, dx = \frac{5x}{8} + \frac{3 \sin 4x}{32} + c = \frac{1}{32}(20x + 3 \sin 4x) + c$।

यदि $I_1 = \int \sin^6 x \, dx$ और $I_2 = \int \cos^6 x \, dx$ है, तो $I_1 + I_2 = $

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