જો int(sqrt{operatorname{cosec} x+1}) d x=k t | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec} x + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1}{\sin x} + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1 + \sin x}{\sin x}} dx$.$\sin x =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec} x + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1}{\sin x} + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1 + \sin x}{\sin x}} dx$.$\sin x = \frac{2 	an(x/2)}{1 + 	an^2(x/2)}$ અને $1 + \sin x = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $u = 	an(x/2)$ અને $dx = \frac{2}{1+u^2} du$ આદેશ લઈએ છીએ.સંકલન $I = \int \sqrt{\frac{(1+u)^2}{2u}} \cdot \frac{2}{1+u^2} du = \sqrt{2} \int \frac{1+u}{\sqrt{u}(1+u^2)} du$ બને છે.ધારો કે $v = \sqrt{u}$, તો $dv = \frac{1}{2\sqrt{u}} du$, તેથી $du = 2v dv$.$I = 2\sqrt{2} \int \frac{1+v^2}{1+v^4} dv = \sqrt{2} \int \frac{1+1/v^2}{v^2+1/v^2} dv = \sqrt{2} \int \frac{d(v-1/v)}{(v-1/v)^2 + 2} + \sqrt{2} \int \frac{d(v+1/v)}{(v+1/v)^2 - 2}$.આનું મૂલ્યાંકન કરતા $I = 2 	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{2	an(x/2)}}{1-	an(x/2)}ight) + c$ મળે છે.આમ, $k = 2$ અને $f(x) = \frac{\sqrt{2	an(x/2)}}{1-	an(x/2)}$.$x = \pi/6$ માટે, $	an(x/2) = 	an(\pi/12) = 2 - \sqrt{3}$.$f(\pi/6) = \frac{\sqrt{2(2-\sqrt{3})}}{1-(2-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{3}-1} = 1$.તેથી, $\frac{1}{k} f(\pi/6) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

જો $\int(\sqrt{\operatorname{cosec} x+1}) d x=k \tan ^{-1}(f(x))+c$ હોય, તો $\frac{1}{k} f\left(\frac{\pi}{6}\right)=$

Similar Questions

જો $I_n = \int \sin^n x \, dx$ હોય, તો $n I_n - (n-1) I_{n-2}$ ની કિંમત શું થાય?

સંકલન $\int \frac{x^2 + \cos^2 x}{1 + x^2} \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ ની કિંમત શોધો,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

$\int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x-a}{x}}\right) d x=$

$\int \frac{dx}{\sin(x - a)\sin(x - b)}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module