यदि int e^x cos x , dx = frac{e^x}{2}(cos x + | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{\cos \left(\log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)\right)}{(3-2x)^2} \, dx$.$t = \log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)$ प्रतिस्थापि

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$\log f(1)$

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(C) माना $I = \int \frac{\cos \left(\log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)\right)}{(3-2x)^2} \, dx$.$t = \log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)$ प्रतिस्थापित करने पर, $\frac{2x+3}{3-2x} = e^t$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) = \frac{(3-2x)(2) - (2x+3)(-2)}{(3-2x)^2} = \frac{6-4x+4x+6}{(3-2x)^2} = \frac{12}{(3-2x)^2}$.अतः, $\frac{12}{(3-2x)^2} \, dx = e^t \, dt$, जिसका अर्थ है $\frac{1}{(3-2x)^2} \, dx = \frac{1}{12} e^t \, dt$.समाकलन में मान रखने पर: $I = \int \cos(t) \cdot \frac{1}{12} e^t \, dt = \frac{1}{12} \int e^t \cos(t) \, dt$.दिए गए सूत्र $\int e^t \cos(t) \, dt = \frac{e^t}{2}(\cos t + \sin t)$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{12} \cdot \frac{e^t}{2}(\cos t + \sin t) = \frac{e^t}{24}(\cos t + \sin t)$.$t = \log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)$ और $e^t = \frac{2x+3}{3-2x}$ वापस रखने पर, $I = \frac{\frac{2x+3}{3-2x}}{24} \left[ \cos \left( \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) \right) + \sin \left( \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) \right) \right] + c$.दिए गए रूप से तुलना करने पर, $f(x) = \frac{2x+3}{3-2x}$ और $g(x) = \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right)$.अतः, $g(x) = \log(f(x))$, जिसका अर्थ है $g(1) = \log(f(1))$.

यदि $\int e^x \cos x \, dx = \frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x)$ और $\int \frac{\cos \left(\log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)\right)}{(3-2x)^2} \, dx = \frac{f(x)}{24}[\cos (g(x)) + \sin (g(x))] + c$ है, तो $g(1) =$

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