यदि int x(1+x) log(1+x^2) dx = F(x) log(1+x^2 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int (x+x^2) \log(1+x^2) dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $\log(1+x^2)$ को प्रथम फलन लेने पर:$I = \log(1+x

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$\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}$

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(C) माना $I = \int (x+x^2) \log(1+x^2) dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $\log(1+x^2)$ को प्रथम फलन लेने पर:$I = \log(1+x^2) \int (x+x^2) dx - \int \left( \frac{d}{dx} \log(1+x^2) \int (x+x^2) dx ight) dx$$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} ight) - \int \frac{2x}{1+x^2} \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} ight) dx$$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} ight) - \int \left( \frac{x^3}{1+x^2} + \frac{2x^4}{3(1+x^2)} ight) dx$समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$\int \frac{x^3}{1+x^2} dx = \int \frac{x(x^2+1-1)}{1+x^2} dx = \int x dx - \int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \log(1+x^2)$$\int \frac{2x^4}{3(1+x^2)} dx = \frac{2}{3} \int \frac{x^4-1+1}{1+x^2} dx = \frac{2}{3} \int (x^2-1) dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{2x^3}{9} - \frac{2x}{3} + \frac{2}{3} 	an^{-1} x$मान प्रतिस्थापित करने पर:$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} ight) - \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + \frac{2x^3}{9} - \frac{2x}{3} + \frac{2}{3} 	an^{-1} x ight) + c$$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2} ight) - \frac{2}{3} 	an^{-1} x - \frac{2x^3}{9} - \frac{x^2}{2} + \frac{2x}{3} + c$दिए गए समीकरण से तुलना करने पर, $F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int x(1+x) \log(1+x^2) dx = F(x) \log(1+x^2) - \frac{2}{3} \tan^{-1} x - \frac{2x^3}{9} - \frac{x^2}{2} + \frac{2x}{3} + c$ है, तो $F(x) =$

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