જો $I=\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{5+3 \sin x}=\lambda \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$, તો $\lambda=$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx =$

વિધેય $L(x) = \int_1^x \frac{dt}{t}$ એ કયું સમીકરણ સંતોષે છે?

શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & m \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 20 \\ m \end{bmatrix}$,અને $X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ ધ્યાનમાં લો. જો સમીકરણ સંહતિ $AX = B$ નો ઉકેલ ઋણ હોય (એટલે કે,$x < 0$ અને $y < 0$),તેવા તમામ $m$ ના ગણને અંતરાલ $(a, b)$ કહો. તો $8 \int_a^b |A| dm$ ની કિંમત ............. છે.

$3. \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx =$

સંકલન $I = \int_{0}^{10} \frac{[x] e^{[x]}}{e^{x-1}} dx$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો $I$ નું મૂલ્ય શોધો.