જો [cdot] એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવતું હ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણે સંકલન $I = \int_1^2 [x^2] dx$ ની કિંમત શોધવાની છે. ધારો કે $t = x^2$, તેથી $dt = 2x dx$, જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{dt}{2\sqrt{t}}$. જ્યારે

Vedclass · Accepted Answer

$5-\sqrt{2}-\sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(A) આપણે સંકલન $I = \int_1^2 [x^2] dx$ ની કિંમત શોધવાની છે. ધારો કે $t = x^2$, તેથી $dt = 2x dx$, જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{dt}{2\sqrt{t}}$. જ્યારે $x=1$, ત્યારે $t=1$. જ્યારે $x=2$, ત્યારે $t=4$. તેથી, $I = \int_1^4 [t] \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_1^4 \frac{[t]}{\sqrt{t}} dt$. આપણે સંકલનને એવા અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં $[t]$ અચળ હોય: $I = \frac{1}{2} \left( \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{t}} dt + \int_2^3 \frac{2}{\sqrt{t}} dt + \int_3^4 \frac{3}{\sqrt{t}} dt \right)$. દરેક સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા: $\int_1^2 t^{-1/2} dt = [2\sqrt{t}]_1^2 = 2(\sqrt{2}-1)$. $\int_2^3 2t^{-1/2} dt = [4\sqrt{t}]_2^3 = 4(\sqrt{3}-\sqrt{2})$. $\int_3^4 3t^{-1/2} dt = [6\sqrt{t}]_3^4 = 6(2-\sqrt{3}) = 12-6\sqrt{3}$. આ બધાનો સરવાળો કરતા: $I = \frac{1}{2} [2\sqrt{2}-2 + 4\sqrt{3}-4\sqrt{2} + 12-6\sqrt{3}] = \frac{1}{2} [10 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}] = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

જો $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવતું હોય, તો $\int_1^2 [x^2] dx =$

Similar Questions

$3. \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx =$

$\int_{0}^{2} |x - 1| \, dx = $

ધારો કે $[x]$ અને $\{x\}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ ના પૂર્ણાંક ભાગ અને અપૂર્ણાંક ભાગ છે. સંકલન $\int_0^5 [x]\{x\} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$a > 1, \; \int_{1}^{a} [x] f'(x) dx = $

સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નીચેના નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો:
$\int_{1}^{4}(x^{2}-x) dx$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module