જો $\cos x \frac{dy}{dx} = y \sin x - 1$, જ્યાં $x \neq (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$, એ વક્ર $y = f(x)$ ને અનુરૂપ વિકલ સમીકરણ હોય અને $f(0) = 1$ હોય, તો $f(x) =$

ધારો કે વક્ર $y=f(x)$ ના બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $2 \tan x(\cos x-y)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો વક્ર બિંદુ $(\frac{\pi}{4}, 0)$ માંથી પસાર થાય,તો $\int_{0}^{\pi / 2} y \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો:
$I$. જો $dy+2xy dx=2e^{-x^2} dx$ હોય,તો $ye^{x^2}=2x+c$
$II$. જો $ye^{x^2}-2x=c$ હોય,તો $dx=\frac{dy}{2e^{-x^2}-2xy}$
નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ નો ઉકેલ છે, જ્યાં $x \in (0, 1)$ અને $\lim_{x\to 1^-} y(x) = 1$. તો $y\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો:

જો $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} = \left(\left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 - y\right) \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $-2 \leq x \leq 2$ અને $y(2) = \frac{\pi^2-8}{4}$ હોય,તો $y^2(0)$ ની કિંમત શોધો.