જો $r=b+ta$ અને $r=d+sc$ એ બે વિષમતલીય રેખાઓ હોય, તો તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શું છે?

સદિશો $\vec{a}=3 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}$, $\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $\vec{c}=-5 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ ધ્યાનમાં લો. જો $l, m$ અને $n$ એ અનુક્રમે $\vec{b}$ પર $\vec{a}$ નો, $\vec{c}$ પર $\vec{b}$ નો અને $\vec{a}$ પર $\vec{c}$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ હોય, તો:

જો બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એવા હોય કે જેથી $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$, તો $|\vec{a} - \vec{b}| = . . . . . . $.

નીચેની રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો શોધો:
$\vec{r}=2 \hat{i}-5 \hat{j}+\hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k})$ અને
$\vec{r}=7 \hat{i}-6 \hat{k}+\mu(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})$

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ અને $\overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. બાજુ $AD$ ને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સમતલમાં લઘુકોણ $\alpha$ દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે જેથી $AD$ એ $AD'$ બને છે. જો $AD'$ એ બાજુ $AB$ સાથે કાટખૂણો બનાવે,તો ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન (cosine) શું થાય?

જો $a$ એ $7$ માન ધરાવતો સદિશ હોય અને $b$ એ $8$ માન ધરાવતો સદિશ હોય,તો $|a \cdot b|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય કેટલું થાય?