यदि a, b, c भिन्न विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं | vedclass

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Question

(A) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के परिमेय मूल होने के लिए, विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ को एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग होना चाहिए। चूँकि $a, b, c$ पूर्

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$0$ होनी चाहिए

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(A) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के परिमेय मूल होने के लिए, विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ को एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग होना चाहिए। चूँकि $a, b, c$ पूर्णांक हैं, $D$ को एक पूर्ण वर्ग पूर्णांक होना चाहिए।चूँकि $a, b, c$ विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं, $b^2$ विषम है और $4ac$ सम है। अतः, $D = b^2 - 4ac$ एक विषम पूर्णांक है।मान लीजिए $D = (2k + 1)^2$। तब $b^2 - 4ac = (2k + 1)^2$।इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $4ac = b^2 - (2k + 1)^2 = (b - 2k - 1)(b + 2k + 1)$ प्राप्त होता है।$b = 2n + 1$ रखने पर, $4ac = (2n - 2k)(2n + 2k + 2) = 4(n - k)(n + k + 1)$।अतः $ac = (n - k)(n + k + 1)$।यहाँ $(n - k)$ और $(n + k + 1)$ का अंतर $2k + 1$ (विषम) है, इसलिए उनका गुणनफल $ac$ सम होगा।लेकिन $a$ और $c$ विषम हैं, इसलिए उनका गुणनफल विषम होना चाहिए, जो एक विरोधाभास है।अतः, $D$ पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता और समीकरण के कोई परिमेय मूल नहीं हैं।इस प्रकार, परिमेय मूलों की संख्या $0$ है।

यदि $a, b, c$ भिन्न विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के परिमेय मूलों की संख्या क्या होगी?

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