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Question

(D) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\sin x \cos x] dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\frac{1}{2} \sin 2x] dx$ है। $	heta =

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$-\frac{\pi}{2}$

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(D) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\sin x \cos x] dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\frac{1}{2} \sin 2x] dx$ है। $	heta = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर, $d	heta = 2dx$ या $dx = \frac{1}{2} d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = -\frac{\pi}{2}$ है, तो $	heta = -\pi$ और जब $x = \frac{\pi}{2}$ है, तो $	heta = \pi$ होता है। अतः, $I = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} [\frac{1}{2} \sin 	heta] d	heta$। चूँकि $[\frac{1}{2} \sin 	heta]$ एक विषम फलन है, अंतरालों की जाँच करने पर: $	heta \in [-\pi, 0]$ के लिए, $\sin 	heta \in [-1, 0]$, अतः $\frac{1}{2} \sin 	heta \in [-\frac{1}{2}, 0]$, इसलिए $[\frac{1}{2} \sin 	heta] = -1$ होगा। $	heta \in [0, \pi]$ के लिए, $\sin 	heta \in [0, 1]$, अतः $\frac{1}{2} \sin 	heta \in [0, \frac{1}{2}]$, इसलिए $[\frac{1}{2} \sin 	heta] = 0$ होगा। अतः, $I = \frac{1}{2} [\int_{-\pi}^{0} (-1) d	heta + \int_{0}^{\pi} (0) d	heta] = \frac{1}{2} [-	heta]_{-\pi}^{0} = \frac{1}{2} [0 - (\pi)] = -\frac{\pi}{2}$।

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